证明的故事:从勾股定理到现代数学电子书

序言

第1章 欧几里得之前

1.1 勾股定理

勾股定理的起源

1.2 勾股数组

1.3 无理数

1.4 从无理数到无穷

欧几里得算法的图形表示

1.5 对无穷的敬畏

1.6 欧多克斯

阿基米德公理

穷竭法

1.7 附注

第2章 欧几里得

2.1 定义、定理和证明

2.2 等腰三角形定理与SAS

SAS蕴含ASA

2.3 平行公设的变体

平行四边形和三角形

2.4 再谈勾股定理

2.5 代数概览

2.6 数论与归纳法

素数

2.7 几何级数

完全数

四面体的体积

2.8 附注

第3章 欧几里得之后

3.1 关联

3.2 顺序

有序域的性质

3.3 合同

3.4 完备

3.5 欧几里得平面

3.6 三角形不等式

反射的最短路径性质

3.7 射影几何

不进行测量的透视画法

3.8 帕普斯定理和德萨格定理

射影平面的公理和模型

附加公理

3.9 附注

第4章 代数

4.1 二次方程

4.2 三次方程

三次方程的解

邦贝利与方程x3=15x+4

4.3 作为“普遍算术”的代数

4.4 多项式与对称函数

因子定理

对称多项式基本定理

4.5 近世代数：群

方程的经典理论

伽罗瓦理论

群公理

4.6 近世代数：域与环

复数与超复数

域和环的公理

4.7 线性代数

4.8 近世代数：向量空间

代数数论中的向量空间

4.9 附注

几何中的有限置换群

射影平面公理与代数

第5章 代数几何

5.1 圆锥曲线

5.2 费马和笛卡儿

5.3 代数曲线

切线

无穷远点

5.4 三次曲线

5.5 贝祖定理

5.6 线性代数和几何

欧几里得空间

5.7 附注

第6章 微积分

6.1 从列奥纳多到哈里奥特

圆的面积和周长

等角螺线的弧长

6.2 无穷求和

调和级数

圆函数的幂级数

6.3 牛顿的二项式级数

6.4 巴塞尔问题的欧拉解法

6.5 变化率

切线

6.6 面积和体积

用矩形逼近面积

6.7 无穷小代数和几何

微分法则

微积分基本定理

弧长

6.8 级数微积分

对π的级数的重新发现

6.9 代数函数及其积分

椭圆积分

6.10 附注

力学

第7章 数论

7.1 初等数论

同余

一些有限域和有限环

7.2 再谈勾股数组

圆上的有理点

二次曲线的参数方程

7.3 费马最后定理

将费马方程从数转向函数

7.4 数论中的几何与微积分

圆和其他曲线的微积分

椭圆函数和椭圆曲线

椭圆曲线上的有理点

7.5 高斯整数

带余除法

复数的几何

高斯素数

等分圆

7.6 代数数论

欧拉证明的合理性

7.7 代数数域

代数整数

7.8 环和理想

理想

理想的乘积和因子

7.9 整除和素理想

商环

7.10 附注

归纳法简史

现代代数几何

解析数论

第8章 代数基本定理

8.1 在证明之前的定理

8.2 代数基本定理的早期“证明”及其漏洞

8.3 连续性和实数

8.4 戴德金对实数的定义

8.5 代数学家的基本定理

8.6 附注

第9章 非欧几里得几何

9.1 平行公设

9.2 球面几何

9.3 球面几何的平面模型

9.4 微分几何

曳物线和悬链线

曲率

9.5 常曲率几何

测地三角形

将常曲率曲面映射到平面

9.6 贝尔特拉米的双曲几何模型

基于伪球面的模型

贝尔特拉米的共形模型

9.7 复数的几何

9.8 附注

黎曼几何

第10章 拓扑学

10.1 图

哥尼斯堡七桥

树

10.2 欧拉多面体公式

平面图

多边形若尔当曲线定理

10.3 欧拉示性数和亏格

10.4 作为曲面的代数曲线

10.5 曲面的拓扑

可定向曲面的覆叠

基本群

10.6 曲线奇点和纽结

10.7 赖德迈斯特移动

10.8 简单的纽结不变量

三色性的推广

纽结行列式

10.9 附注

第11章 算术化

11.1 ℝ的完备性

区间套的完备性

柯西完备性

11.2 直线、平面和空间

11.3 连续函数

弦振动

11.4 定义“函数”和“积分”

黎曼积分

勒贝格测度和勒贝格积分

11.5 连续性和可微性

11.6 一致性

一致收敛

一致连续

11.7 紧致性

海涅-博雷尔定理

闭区间上的一致连续性

连续函数的黎曼可积性

最值定理

11.8 编码连续函数

11.9 附注

几何依然存续

点集拓扑

第12章 集合论

12.1 无穷简史

12.2 等势集合

可数集合

代数数与超越数

的不可数性

康托尔对对角线论证法的推广

12.3 与ℝ等势的集合

12.4 序数

12.5 用集合实现序数

序数的冯·诺伊曼定义

12.6 根据秩对集合排序

12.7 不可达性

12.8 无穷的悖论

12.9 附注

ℝ与ℝ2的维数

第13章 数、几何和集合的公理

13.1 皮亚诺算术

戴德金论归纳法

13.2 几何公理

内积空间

13.3 实数的公理

13.4 集合论的公理

去掉无穷公理的ZF

13.5 附注

第14章 选择公理

14.1 选择公理和无穷

14.2 选择公理和图论

14.3 选择公理和分析学

14.4 选择公理和测度论

14.5 选择公理和集合论

14.6 选择公理和代数学

佐恩引理

14.7 更弱的选择公理

14.8 附注

连续统假设

第15章 逻辑与计算

15.1 命题逻辑

模2算术

有效性和可满足性

15.2 命题逻辑的公理

从公理生成有效式

无切割证明

15.3 谓词逻辑

15.4 哥德尔完备性定理

15.5 逻辑归约为计算

15.6 可计算枚举集

15.7 图灵机

机器描述

通用机

判定问题

15.8 半群的字问题

从图灵机到半群

在判定问题中的应用

15.9 附注

P与NP

一致性和存在性

二叉树

第16章 不完全性

16.1 从不可解性到不可证性

16.2 句法的算术化

自我指涉

希尔伯特纲领

16.3 根岑对PA一致性的证明

16.4 算术中暗含的ε0

古德斯坦定理

可熔数

16.5 可构造性

布劳威尔的直觉主义

反推数学：基本系统

16.6 算术概括

16.7 弱柯尼希引理

16.8 五大子系统

16.9 附注

参考文献