改变世界的数学电子书

前言

第1章 导论

1.1 数学改变世界

1.2 什么是数学

1.2.1 数学文化观

1.2.2 数学的定义

1.3 数学对象的历史演进

1.3.1 几何学的诞生

1.3.2 代数学的兴起

1.3.3 解析几何与微积分的出现

1.3.4 20世纪以来的数学

1.4 数学交流

1.5 数学文化的普及

第2章 数学的诞生

2.1 数感与记数法

2.2 早期文明的记数系统

2.2.1 中国古代的算筹记数法和干支记数法

2.2.2 古巴比伦的楔形数字

2.2.3 古埃及的象形数字

2.2.4 其他文明的记数方法

2.3 神秘的数字

2.3.1 中华文化的源头——河图与洛书

2.3.2 来自西方的神秘数字

第3章 古希腊数学

3.1 毕达哥拉斯与勾股定理

3.1.1 毕达哥拉斯的“万物皆数”

3.1.2 勾股定理

3.1.3 无理数与黄金分割

3.2 柏拉图与亚里士多德的方法论

3.2.1 柏拉图学园

3.2.2 亚里士多德的吕园

3.3 欧几里得的《几何原本》

3.3.1 《几何原本》的公理化体系

3.3.2 《几何原本》中的勾股定理

3.3.3 《几何原本》的文化意义

3.4 古希腊三大作图问题与圆锥曲线

3.4.1 古希腊三大作图问题

3.4.2 圆锥曲线

3.5 “数学之神”阿基米德

第4章 中国古代数学

4.1 刘徽与《九章算术》

4.1.1 《九章算术》

4.1.2 以率推术

4.1.3 出入相补原理

4.1.4 徽率

4.2 祖冲之与球体积公式

4.3 宋元数学四大家

4.3.1 秦九韶与“中国剩余定理”

4.3.2 杨辉与纵横图

4.3.3 李冶与天元术

4.3.4 朱世杰与四元术

4.4 中国古代数学的特征

4.4.1 算法化

4.4.2 实用性

4.4.3 寓理于算

第5章 素数之美

5.1 素数

5.1.1 素数有无限多个

5.1.2 寻找梅森素数

5.1.3 素数的分布

5.2 数学猜想

5.2.1 哥德巴赫猜想

5.2.2 费马猜想

5.2.3 黎曼猜想

5.3 素数的应用

5.3.1 哈代-温伯格定律

5.3.2 华罗庚破译日军密码

5.3.3 大自然中的素数——十七年蝉

第6章 方程求解与代数学的发展

6.1 从简写代数到符号代数

6.1.1 丢番图的“简写代数”

6.1.2 花拉子米与海亚姆的代数学

6.1.3 婆什迦罗的代数学

6.1.4 斐波那契的《计算之书》

6.1.5 卡尔达诺的一元三次方程求根公式

6.1.6 韦达的符号代数

6.2 一元五次方程

6.2.1 一元五次方程无根式解

6.2.2 方程有根式解的条件

6.2.3 伽罗瓦的群论

6.3 虚数不虚

6.3.1 数系的自然扩充

6.3.2 复数与超复数

6.3.3 虚数在自然界的应用

第7章 数形结合

7.1 笛卡儿与方法论

7.1.1 解析几何之父——笛卡儿

7.1.2 方法论

7.2 曲线与方程

7.2.1 曲线与方程的结合

7.2.2 曲线与方程的分类

7.2.3 费马的斜坐标系

7.2.4 两者工作的比较

7.3 解析几何的意义

7.3.1 对于科学的发展

7.3.2 对于代数学的发展

7.3.3 对于几何学的发展

第8章 微积分的力量

8.1 早期积分方法的发展

8.1.1 刘徽的积分方法——“割圆术”

8.1.2 阿基米德的积分方法——“平衡法”

8.1.3 开普勒的积分方法——“量分割法”

8.1.4 卡瓦列利的不可分量原理

8.2 近代微分方法的发展

8.2.1 费马的切线法

8.2.2 笛卡儿的圆法

8.2.3 巴罗的特征三角形

8.3 微积分理论的创立

8.3.1 牛顿的微积分

8.3.2 莱布尼茨的微积分

8.3.3 优先权之争

8.4 微积分理论的严格化

8.4.1 柯西的极限方法

8.4.2 魏尔斯特拉斯的分析算术化

8.4.3 实数理论

第9章 概率与统计

9.1 概率论

9.1.1 赌博问题与帕斯卡三角形

9.1.2 伯努利大数定律

9.1.3 拉普拉斯的分析概率论

9.1.4 柯尔莫哥洛夫的概率的公理化体系

9.1.5 概率论的应用

9.2 数理统计

9.2.1 格朗特的死亡统计表

9.2.2 凯特勒的正态分布曲线

9.2.3 高尔顿的相关与回归理论

9.2.4 数理统计学的应用

第10章 非欧几何

10.1 罗巴切夫斯基几何学的创立

10.1.1 对“第五公设”的疑惑

10.1.2 非欧几何思想的萌芽

10.1.3 罗巴切夫斯基几何学的诞生

10.2 欧几里得几何与非欧几何的比较

10.2.1 黎曼几何

10.2.2 三种几何学的比较

10.2.3 非欧几何的文化意义

第11章 无穷的世界

11.1 伽利略的困惑

11.2 康托尔与集合论

11.2.1 集合论的创始人——康托尔

11.2.2 有理数集是可数的

11.2.3 实数集是不可数的

11.2.4 无穷集的基数

11.3 连续统假设

第12章 数学基础危机

12.1 公理集合的性质

12.2 希尔伯特的《几何基础》

12.2.1 《几何原本》的缺陷

12.2.2 《几何基础》

12.3 罗素悖论与三大数学学派

12.3.1 罗素悖论

12.3.2 三大数学学派

第13章 数学与计算机

13.1 现代计算机的先驱

13.1.1 算盘与对数尺

13.1.2 早期的计算器

13.1.3 算法与图灵机

13.1.4 科学技术与数学的完美结合

13.2 机器证明

13.2.1 吴文俊与数学机械化

13.2.2 四色猜想的机器证明

13.3 分形的计算机迭代

13.3.1 分形几何

13.3.2 分形的迭代原理及其应用

13.4 开普勒猜想的计算机证明

13.4.1 开普勒猜想的提出

13.4.2 海尔斯的计算机证明

第14章 数学与航海

14.1 早期人类对航海的探索

14.1.1 大地是球形的

14.1.2 测量地球的周长

14.2 轰轰烈烈的大航海时代

14.2.1 如何把握航向

14.2.2 如何确定纬度

14.2.3 如何确定经度

14.2.4 地图绘制的数学原理

14.2.5 船舶技术中的数学

14.3 现代航海之路

14.3.1 卫星导航系统

14.3.2 船舶雷达系统

14.3.3 航海技术的智能化

第15章 现代数学应用

15.1 数学应用概述

15.2 数学模型方法

15.3 现代数学应用案例

15.3.1 案例1——CT扫描中的数学

15.3.2 案例2——DNA结构中的数学

15.3.3 案例3——激光照排技术中的数学

15.3.4 案例4——密码中的数学

15.3.5 案例5——金融中的数学

第16章 21世纪的数学

16.1 数学的统一性

16.1.1 希尔伯特的数学统一观

16.1.2 阿蒂亚的数学统一观

16.1.3 丘成桐的时空统一观

16.2 庞加莱猜想

16.2.1 千禧年七大数学难题

16.2.2 庞加莱猜想的提出与解决

16.3 张益唐与孪生素数猜想

16.3.1 孪生素数猜想

16.3.2 大器晚成的华裔数学家——张益唐

16.4 当代亚裔数学天才

16.4.1 华裔数学天才陶哲轩

16.4.2 越南第一位菲尔兹奖得主——吴宝珠

16.4.3 韩国第一位菲尔兹奖得主——许埈珥

16.4.4 印度的数学天才——拉马努金与巴尔加瓦

参考文献